Теплопроводность и внутреннее трение газов

Представим себе в газовой среде две параллельные пластины, имеющие различные температуры Т1 и Т2, причем Т1 > Т2 (рис. 1.7). Расстояние между пластинами пусть будет равно d.

Молекулы газа, ударившиеся в горячую пластину, отлетают от нее с большей кинетической энергией, чем до удара, имея слагающую скорости, направленную в сторону холодной пластины.
В случае низкого вакуума, поскольку (λ « d), эти молекулы не могут непосредственно передать свою энергию холодной пластине, так как уже на расстоянии λ (в среднем) от горячей пластины они встретятся с другими молекулами, которым и отдадут часть своей энергии.
В связи с этим упрощенно, но принципиально верно, пространство между пластинами можно представлять разделенным на слои шириной λ, в которых вследствие взаимных столкновений и происходит обмен энергиями между встречными молекулами газа. От слоя к слою происходит потеря тепла, переносимого молекулами газа, и между пластинами устанавливается равномерный перепад температуры на единице пути:
Непосредственно в холодную пластину ударяются, очевидно, лишь молекулы из ближайшего к ней слоя, причем температура газа в этом слое тем ближе к Т2, чем меньше λ.
Такое представление облегчает понимание того экспериментального факта, что теплопроводность газа при низком вакууме не зависит от его давления. Действительно, чем выше давление, тем, с одной стороны, больше переносчиков тепла (молекул), но с другой — тем меньше λ и, следовательно, тем больше тепла теряется вследствие более частых столкновений со встречными молекулами. Наоборот, с понижением давления количество переносчиков тепла уменьшается, но одновременно уменьшаются и потери тепла при столкновениях, поскольку последние становятся реже.
Кинетическая теория для теплопроводности газа между параллельными пластинами в условиях низкого вакуума дает следующее выражение:

где F — площадь поверхности пластины; к — коэффициент теплопроводности, равный

k = 2,09·102ερλυacV[Вт/м·град];                                                   (1.25) 
через cV обозначена теплоемкость единицы массы газа при постоянном объеме (Дж/град ·кг); ε — поправочный множитель, который для атомных газов равен 2,5, для двухатомных — 1,9, для трехатомных — 1,75. Остальные обозначения известны.
Мы видим, что в выражение для к входит произведение двух величин, зависящих от давления, из которых одна (ρ) прямо пропорциональна, другая (λ) обратно пропорциональна давлению; следовательно, теплопроводность газа, как это и было выше отмечено, при низком вакууме от давления не зависит.

В случае высокого вакуума ввиду отсутствия взаимных столкновений молекул и связанных с ними потерь тепла теплопроводность газа, очевидно, должна находиться в прямой зависимости от количества переносчиков тепла. Действительно, опыт показывает, что в условиях высокого вакуума теплопроводность газа прямо пропорциональна давлению.
Кинетическая теория для теплопроводности газа между параллельными пластинами в условиях высокого вакуума дает следующее выражение:

                                                                   (1.26)

где Т — средняя температура газа; F — поверхность пластины; α — коэффициент аккомодации, выражающий собой поправку, необходимость которой вызвана тем, что, как показал опыт, молекулы газа, ударяясь о нагретую или холодную поверхность, как бы не успевают приобретать скорости, соответствующие температурам пластин, и отлетают с их поверхности со скоростями, не соответствующими их температурам. В связи с этим, очевидно, величина а является правильной дробью, значение которой зависит от рода газа, от материала и состояния поверхности тех твердых тел, с которыми соприкасается газ, и может колебаться в широких пределах (0,2-0,95).
На малой теплопроводности газа при высоком вакууме основано пользование сосудами (Дьюара) с двойными стенками (рис. 1.8), в пространстве между которыми создан высокий вакуум; благодаря очень малой теплопроводности газа в пространстве между стенками сосуда сжиженные газы, наливаемые в такие сосуды, могут сохраняться длительное время. В условиях среднего вакуума, когда средняя длина свободного пути молекул газа не слишком сильно отличается от расстояния между пластинами, теплопроводность газа в некоторой степени зависит от давления. Очевидно, чем состояние газа ближе к низкому вакууму, тем его теплопроводность слабее зависит от давления; обратно, с приближением состояния газа к высокому вакууму зависимость теплопроводности газа от давления усиливается, приближаясь к прямой пропорциональности.

Рассмотренные нами параллельные пластины являются удобным примером, при помощи которого наглядно выявляется различное поведение газа в отношении теплопроводности в зависимости от степени вакуума.
Однако в вакуумной технике значительно чаще приходится иметь дело не с нагретой и холодной пластинами, а с нагретой тонкой проволокой, натянутой по оси внутри относительно холодной цилиндрической колбы (или с расположением, близким к цилиндрическому).
Характерной особенностью такого расположения (рис. 1.9), когда перенос тепла происходит в радиальном направлении, является значительно меньшая величина нагретой поверхности (проволоки) по сравнению с холодной (колбой). При этих условиях, если ближайший к проволоке слой газа отстоит от нее на расстояние λ » r1 в любую точку этого слоя со стороны нити попадает в единицу времени число молекул, уже столь малое по сравнению с числом молекул, попадающих со всех остальных направлений, что температуру ближайшего слоя газа можно считать равной температуре колбы. А если так, то весь перепад температуры при λ » r1 сосредоточивается между проволокой и ближайшим слоем газа и перенос тепла молекулами газа, отлетающими от проволоки, происходит без потерь на столкновения, т. е. как в высоком вакууме.
В случае соосно, расположенных цилиндрических поверхностей, пока λ < r1 теплопроводность газа выражается формулой:

Когда же λ » r1, то теплопроводность газа можно подсчитать по формуле (1.26), справедливой для любого расположения при высоком вакууме. Подставив F = 2πr1l (поверхность проволоки), получаем: 

В заключение отметим, что формула (1.27) применяется при расчете газонаполненных приборов с накаленным катодом (газоразрядные приборы) и с накаленной проволокой (газонаполненные электрические лампы накаливания). Зависимость же теплопроводности газов от давления использована в вакуумной технике для разработки так называемых тепловых манометров. Представим себе в газовой среде две пластины (рис. 1.10), из которых одна неподвижна (v = 0), а другая движется параллельно первой со скоростью v0 (расстояние между пластинами обозначим через l). Молекулы газа, ударившись о движущуюся пластину, отлетают от нее со скоростью, имеющей добавочную слагающую, направленную в сторону движения пластины. Количество движения, соответствующее этой добавочной слагающей, вследствие теплового движения молекул переносится ими на неподвижную пластину.

В случае низкого вакуума (см. рис. 1.10) газ между пластинами можно представлять разделенным на слои, отстоящие друг от друга на расстояние λ (так же, как и при рассмотрении теплопроводности газа), причем два крайних слоя являются адсорбированными на поверхности пластин.
Вследствие взаимных столкновений между молекулами соседних слоев газа количество движения будет передаваться от движущейся пластины ближайшему к ней слою, который также придет движение, через него движение передается следующему слою газа и т. д.
Явление переноса количества движения в какой-либо среде называется внутренним трением этой среды.
После достаточно длительного времени все слои газа придут в движение с определенными скоростями, убывающими от подвижной пластины к неподвижной. На неподвижную же пластину будет действовать сила, направленная в сторону движения подвижной пластины, — сила внутреннего трения {вязкости) газа, пропорциональная перепаду скорости на единице пути (-dυ/dl) и поверхности F пластин:

Множитель пропорциональности η называется коэффициентом внутреннего трения, или динамической вязкостью, и согласно кинетической теории для газов при низком вакууме выражается следующим образом:

Сравнивая (1.29) с (1.22), мы видим, что в выражения для коэффициентов внутреннего трения и теплопроводности газа в условиях низкого вакуума входят общие величины: плотность, длина свободного пути и скорость теплового движения молекул газа. Здесь сказывается общность механизмов переноса тепла и количества движения молекулами при их тепловом движении. Эта общность приводит к выводу, что аналогично коэффициенту теплопроводности коэффициент внутреннего трения газа не зависит от давления (изменение концентрации молекул как переносчиков количества движения компенсируется изменением потерь количества движения при столкновениях; произведение ρλ остается постоянным).
При высоком вакууме, поскольку λ » l, внутреннего трения в виде передачи количества движения от одного слоя газа к другому существовать, очевидно, не может, так как нет отдельных слоев газа и столкновений между молекулами. Следовательно, передача количества движения от движущейся пластины к неподвижной происходит непосредственно отдельными молекулами, отлетающими с добавочной скоростью от движущейся пластины; наоборот, молекулы газа, отлетающие от неподвижной пластины, попадая на движущуюся пластину, оказывают на нее тормозящее действие. Такую передачу количества движения от движущейся пластины к неподвижной посредством отдельных, независимо (без взаимных столкновений) перелетающих между пластинами молекул иногда называют «молекулярной» вязкостью. Очевидно, ввиду отсутствия потерь на взаимные столкновения молекулярная вязкость должна быть прямо пропорциональной числу переносчиков количества движения и, следовательно, давлению газа. На этой зависимости построен так называемый вязкостный манометр для измерения низких давлений, правда, не получивший большого распространения.
В условиях среднего вакуума, передача количества движения, очевидно, должна в известной мере зависеть от давления, но тем меньше, чем состояние газа ближе к низкому вакууму, и, обратно, тем больше, чем состояние газа ближе к высокому вакууму. Рассмотренные нами различия в поведении газа с точки зрения проявления его внутреннего трения или вязкости играют важную роль в процессе течения газа по вакуумпроводу, соединяющему откачиваемый объем с насосом. Однако этот процесс связан также с рядом других свойств газа, и влияние степени вакуума на течение газа по трубке целесообразно рассмотреть в главе, посвященной расчету вакуумных систем