Распределение молекул по скоростям

При соударении друг с другом или со стенками вакуумной камеры молекулы газа изменяют свои скорости, как по величине, так и по направлению. Тем не менее в состоянии равновесия систему молекул можно описать с вероятностной точки зрения. Математически такое описание определяется заданием функции плотности вероятности распределения молекул по скоростям. 
Рассмотрим объем идеального газа, находящийся при температуре T. Функция распределения молекул по скоростям определяется формулой Максвелла (это так называемое распределение Максвелла):

, (1.11)

где υ _x, υ _y, υ _z — декартовы компоненты скорости частицы, k — постоянная Больцмана, которая осуществляет связь между температурой и энергией,k = 1,38×10^–23 Дж/К = =1,38×10^–16 эрг/К, m — масса частицы.
Формула (1.11) определяет вероятность того, что молекула газа имеет скорость с декартовыми компонентами в интервалах от υ _x доυ _x + dυ _x; от υ _y до υ_y + dυ _y; от υ _z до υ _z + υ _z. Точный вывод формулы (1.11) выходит за рамки данного пособия. Интересующийся читатель может найти подробности в литературе [2, 3].
Формула (1.11) может быть представлена в виде произведения трех независимых сомножителей, каждый из которых определяет распределение по соответствующей декартовой компоненте скорости, например, для компоненты x: 

.             (1.12)

Интервалу абсолютных скоростей от υ до υ + dυ в пространстве скоростей υ _x, υ _y, υ _z соответствует сферический слой объемом 4π dυ²dυ. Тогда вероятность того, что скорость молекулы лежит в диапазоне от dυ до dυ +dυ, определяется формулой

.          (1.13)

Формулу (1.13) можно также получить, сделав в (1.11) переход от декартовых координат к сферическим и выполнив интегрирование по углам. В заключение получим распределение молекул по энергии. Для этого заменим в формуле (1.13) mυ ²/2 на E, а dυ на  соответственно:

.             (1.14)

Формулы (1.12) и (1.14) удобно представить в инвариантном виде, вводя безразмерную энергиюи безразмерную скорость :

                            (1.15а)
,                            (1.15б)

где , , а графики этих функций приведены на рисунке 1.1. 
Максимум функции f_υ (y) соответствует значению y= 1, поэтому наиболее вероятная скорость равна

.                                (1.16)

а) 

б)

Рис. 1.1. Функции распределения Максвелла по скорости (а) и по энергии (б) в безразмерных единицах

Среднюю скорость молекул можно найти, воспользовавшись формулой (1.9) с учетом (1.13). В результате вычисления интеграла получим

,                      (1.17)

что в безразмерных единицах соответствует .
Аналогично можно выразить среднеквадратичную скорость:

,               (1.18)

что в безразмерных единицах соответствует .
Для того чтобы найти среднюю энергию, воспользуемся распределением (1.14). В результате получим

.                  (1.19)

Некоторые интегралы необходимые для вычисления других средних значений приведены в приложении 1.