§ 3.10.3. Вероятностная модель

Вероятностная модель стационарного течения газа описывает случайную траекторию движения молекул в элементе. Для математического моделирования траектории движущихся молекул газа воспользуемся уравнением прямой в локальной для каждой поверхности системе координат

где V', т', п' — направляющие косинусы каждой прямой в локальной системе координат, определяемые углами a1 и а2.

Для определения точки встречи молекулы с поверхностью элемента нужно преобразовать уравнение (3.87) в глобальную систему координат, в которой записаны уравнения, определяющие конфигурацию элемента:

где Х₁, у₁ ,Z₁ — координаты точки вылета молекулы в глобальной системе координат; b, m, n — направляющие косинусы прямой в глобальной системе координат, которые определяют из преобразования  

где b₁,b₂, b₃ — направляющие косинусы глобальных осей по отношению к оси х'; m₁, m₂, m₃ — по отношению к оси y'; n₁, n₂, n₃ — по отношению к оси z'.

Совместное решение уравнения (3.88) со всеми уравнениями (3.82), определяющими конфигурацию элемента, позволяют получить точки пересечения. Пересечение прямой с плоскостью дает одну точку, с цилиндром — две. Логически могут быть отброшены точки пересечения, которые не лежат на внутренней поверхности элемента, в соответствии с ограничениями к уравнению (3.82) на внутренней поверхности элемента. Из оставшихся необходимо выбрать одну точку, находящуюся на минимальном расстоянии от исходной по направлению полета молекулы.

Для найденной таким образом точки пересечения вновь определяется случайное направление вылета. Углы вылета находятся аналогично a₁ и а₂ [см. (3.85) и (3.86)], при этом они измеряются в локальной системе координат, в которой ось z' направлена по нормали к соответствующей поверхности вылета. Движение молекулы прослеживается до тех пор, пока она не покинет элемент через входное или выходное отверстие.

Исход каждого испытания есть случайная величина X, которая может иметь два значения: 0 и 1.

Будем считать, что молекула проходит элемент, когда Х=1. Траектория такой молекулы начинается от точки В на рис. 3.16.

Если молекула возвращается обратно, то Х=0. Пример траектории такой молекулы, начинающейся от точки А, показан на рис. 3.16. Вероятность прохождения молекулой элемента от входного сечения / до выходного сечения 2 находится как среднеарифметическое значений случайной величины X при достаточно большом числе испытаний N:

где Х1, ..., XN — значения случайной величины X для соответствующего испытания.

Поток газа, проходящий через элемент,

где Qo — поток газа, входящий в элемент через входное отверстие. Проведем статистическую оценку результатов. Определим характеристики случайной величины X. Пусть М(Х), М(Х2)—математические ожидания случайных величин X и X2:

где P_i — вероятности исходов У_i случайной величины X. Вероятность Р1 соответствующая У₁= 1, равна P_1→2, а вероятность Р₂, соответствующая У₂=0, равна 1—P_1→2- Таким образом,

Используем значения полученных математических ожиданий для нахождения дисперсии случайной величины X:

Среднеквадратичное отклонение случайной величины X

В соответствии с формулой Чебышева при любом фиксированном е>0

При достаточно большом числе испытаний N средне арифметическое XN отличается от М (X) не более чем на е с вероятностью не менее чем 1—Y, где

Относительная погрешность с учетом (3.95)

Воспользовавшись выражением (3.93) для D(X), преобразуем (3.96), тогда

При фиксированном значении у ошибка в расчетах убывает пропорционально корню квадратному из числа испытаний. Число испытаний можно определить из (3.97):

где R=1/(δ2у). При P_1→2=0,5 необходимое число испытаний N=R. В табл. 3.9 приведены значения числа испытаний R для различных значений относительной погрешности расчета δ и вероятности выполнения оценки 1—у.

Из таблицы видно, что при Р_1→2=0,5 погрешность 10% с вероятностью 0,99 может быть достигнута при 10 000, а с вероятностью 0,9 — при 1000 испытаний.

Недостатком метода статистических испытаний является необходимость проведения большого числа испытаний для получения приемлемой точности, что требует применения вычислительной техники.

Достоинством метода является универсальность вычислительного алгоритма. Для расчета нового элемента требуется только аналитически задать его конфигурацию.