§ 1.4.2. Вывод функции распределения

Рассмотрим вывод функции распределения (1.16), существование которой постулируется молекулярно-кинетической теорией. Число молекул dnvx скорости которых заключены в промежутке от vx, до vx+dvx, пропорционально общему числу молекул n, приращению скорости dvx, и определяется функцией распределения f(и,,). Аналогичные соотношения можно записать для осей координат у и z. Таким образом,

Число молекул, обладающих скоростями, вектор которых находится внутри параллелепипеда со сторонами dv", dv y , dv z с учетом независимости координат определяется на основании теории вероятности по формуле

Так как пространство газовых молекул изотропно, а концентрация частиц, имеющих скорость и, одинакова во всем пространстве скоростей, то

Функция распределения не зависит от направления и определяется только модулем скорости и, т, е.

Этому уравнению удовлетворяют функции

что можно проверить подстановкой (1.26) в (1.25):

Таким образом, (1.22) с учетом (1.26) можно представить в виде

Перепишем выражение (1.23) используя (1.24) (1.25) и (1.27)

Для нахождения постоянных А и В проинтегрируем (1.29) по скоростям. Получим:

Известно, что

Вычислив интеграл в (1.30) согласно (1.31), имеем

Уравнение (1.32) устанавливает связь между искомыми постоянными. Для определения их значений воспользуемся выражением для среднеквадратичной скорости из (1.11)

Подставляя (1.29) в (1.33), будем иметь

Значение интеграла в (1.34) найдем согласно (1.31):

Тогда, учитывая (1.32) и (1.34), получим

Откуда

Воспользуемся значениями коэффициентов А и В и перепишем функцию распределения (1.27) в виде

Тогда число молекул, имеющих скорости в интервале от v до v+dv, согласно (1.29), будет

что совпадает с (1.16).