Приложения

Приложение 1. Интегральное уравнение тепло- и влагопереноса  

Система дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса во влажных материалах имеет вид:

Средние интегральные по объему значения температуры t и влагосодержания u определяются соотношениями

 

Если считать, что коэффициенты переноса а, аm, aтm и термодинамические параметры r, с, ε не изменяются по объему тела, то можно написать:

В последнем равенстве была использована теорема Гаусса — Остроградского

 

Воспользуемся граничным условием

где j2(т) — поток жидкообразной влаги на поверхности тела. Уравнение (2) для I = 2 (жидкообразная влага) можно написать так:

 

так как u2=u1+u2. Следовательно, имеем:

Обозначим средний удельный поток тепла на поверхности:

 

а также принимая во внимание соотношение (8), будем иметь.

откуда получим:

 

В процессе сушки величина du/dт отрицательна (du/dт<0) Поэтому будем ее считать по абсолютному значению. Тогда интегральное уравнение тепло- и влагообмена будет иметь вид:

где Rv=v/F — отношение объема к поверхности тела.

Этот вывод будет справедлив для более общего случая, когда источник влаги εр0du/dт будет любой функцией времени, т. е.можно εр0du/dт заменить на I2(т)

Интегральное уравнение (12) показывает, что подведенное к телу тепло q(т) затрачивается на испарение влаги rр0Rvdu/dт и на нагревание влажного тела rр0Rvcdt'/dт. В некоторых работах вместо r входит величина (r + с2t), где с2 — удельная теплоемкость жидкости. Это неверно, так как теплосодержание испаренной жидкости переходит из тела в окружающую среду без затраты тепла.

Источник тепла определяется соотношением ΣhiIi, где hi — удельная энтальпия i-й фазы. При испарении жидкости I2 = -I1, т.е.(h1 — h2)I1=r12•I1. Также неверно в уравнении баланса тепла вместо r писать [r + сп (tп — tи)], где сп — средняя теплоемкость перегретого пара, а tп и tи — соответственно температура пара в окружающей среде и температура испарения. Учет тепла иа нагрев влаги в теле в любом фазовом состоянии учитывается суммарной теплоемкостью тела, равной

 

Эти замечания нами сделаны потому, что неправильное написание уравнения баланса тепла встречается в некоторых учебных пособиях.

 

Приложение 2. Решение уравнений тепло- и влагопереноса

Система дифференциальных уравнений тепловлагопереноса в обобщенных переменных для одномерной задачи (неограниченные пластина, цилиндр и шар) имеет вид:

где X=x/R—безразмерная координата, T = (t—t*)/Δt*—безразмерная температура, U = (u*—u)/Δu* — безразмерное влагосодержание, Fo—число Фурье (Fo = ax/R), Г — постоянный коэффициент для пластины Г = 0, для цилиндра Г = 1 и для шара Г = 2; Δt* и Δu* — соответственно фиксированные значения температуры и влагосодержания.

Граничные условия можно написать так:

 

Начальные условия принимаем следующие:

Решение уравнений (1) и (2) при условиях (3)—(6) имеет вид:

 

Где

Для неограниченной пластины Г = 0:

 

Для неограниченного цилиндра Г = 1:

μn— корни характеристического уравнения J1(μ) = 0. Для шара Г = 2:

 

μn — корни характеристического уравнения tg μ=μ.

Приложение 3. Решение при интегральных граничных условиях

Обозначим безразмерные температуру через Т, влагосодержание — U, координату — X (X = х/R), время — Fо (Fо = dт/R2). Тогда дифференциальные уравнения влаготеплопереноса для одномерной задачи будут иметь вид:

где Г — постоянный коэффициент, для пластины Г = 0, для цилиндра Г = 1 и для шара Г = 2.

Задачи будем считать симметричными, т. е.

 

Граничные условия имеют вид:

Воспользуемся приближенным уравнением кривой скорости сушки:

 

где Rv— отношение объема тела к поверхности, N — скорость сушки в периоде постоянной скорости, Rv —относительный коэффициент сушки, u — среднее влагосодержание тела, определяемое по соотношению

Решение системы дифференциальных уравнений (1) и (2) при условиях (3)— (6) дано М. Д. Михайловым. Это решение имеет вид:

 

где

μn – корни характеристического уравнения

 

Приложение 4. Характеристические числа

Характеристические числа определяются по формуле

Для удобства расчета в монографии А. В. Лыкова и Ю. А. Михайлова «Теория тепло- и массопереноса», Госэнергоиздат, 1963 г., приведены графики и таблицы для коэффициентов Вmki и Bqki и др.